📐

Probabilitat

Matemàtiques CCSS · Batxillerat

Laplace & Àlgebra Arbres de Probabilitat Bayes · Normal

Apunts

📋 Programa

Continguts de la Sessió

📌

Bloc 1 · Fórmules

Laplace, unió, intersecció, succesos independents

0:00 — 0:25

🌲

Bloc 2 · Arbres

Probabilitat condicionada, arbres de probabilitat

0:25 — 0:55

🔄

Bloc 3 · Bayes

Prob. Total i Teorema de Bayes

0:55 — 1:20

🔔

Bloc 4 · Normal

Distribució normal, tipificació, simetria

1:20 — 2:00

📌 Bloc 1

Regla de Laplace

Vàlida quan tots els successos elementals són equiprobables

P(A) = casos favorables a A / casos totals

✅ Quan aplicar-la

Llençar un dau, extreure cartes, boles d'una urna. Tots els resultats han de tenir la mateixa probabilitat.

⚠️ Axiomes de Kolmogorov

0 ≤ P(A) ≤ 1
P(Ω) = 1 · P(∅) = 0
Si A∩B=∅ → P(A∪B) = P(A)+P(B)

📘 Exemple clàssic

Urna amb 3 boles vermelles i 7 blaves. Probabilitat d'extreure vermella:

P(V) = 3/10 = 0,3

Probabilitat del contrari:

P(Ā) = 1 − P(A)

P(V̄) = 1 − 0,3 = 0,7

📌 Bloc 1 · Àlgebra

Unió, Intersecció i Independència

∪

Unió (OR)

P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Si A i B són incompatibles (A∩B=∅):
P(A∪B) = P(A)+P(B)

∩

Intersecció (AND)

P(A∩B) = P(A)·P(B|A)

Regla del producte general. La prob. de B depèn del que hagi passat A.

⊥

Succesos Independents

P(A∩B) = P(A)·P(B)

Que passi A no afecta B. Llavors: P(B|A) = P(B)

💡

Incompatibles ≠ Independents. Incompatibles: no poden passar alhora (A∩B=∅). Independents: sí que poden passar alhora, però un no influeix l'altre.

🌲 Bloc 2

Probabilitat Condicionada

📐 Definició formal

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Probabilitat de B donat que ja ha passat A

🔁 Regla del producte

P(A∩B) = P(A) · P(B|A)

P(A∩B) = P(B) · P(A|B)

📋 Taula de contingència

	Malalt	Sa
+	95	10
−	5	90
Total	100	100

P(Test+|Malalt) = 95/100 = 0,95

⚠️ Atenció a PAU

A i B independents ↔ P(B|A) = P(B) ↔ P(A∩B) = P(A)·P(B)

🌲 Bloc 2 · Arbre

Arbres de Probabilitat

Exemple: 2 fàbriques, peces defectuoses

📏 Regles bàsiques

Branca: multiplicar les probabilitats
Final: la suma = 1
Unió: sumar branques favorables

🔢 P(D) = P.Total

P(D) = 0,018 + 0,020 = 0,038

⭐ Truc PAU

Comprova sempre que la suma de totes les branques finals = 1

🔄 Bloc 3

Probabilitat Total

📐 Fórmula general

P(B) = Σ P(Aᵢ) · P(B|Aᵢ)

on A₁, A₂, ..., Aₙ particionan Ω

✅ Condicions de la partició

Aᵢ ∩ Aⱼ = ∅ (disjunts dos a dos)
A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ Aₙ = Ω
P(Aᵢ) > 0 per a tots els i

📘 Exemple fàbriques

3 fàbriques: A (50%), B (30%), C (20%)

Defectes: P(D|A)=0,02 · P(D|B)=0,03 · P(D|C)=0,05

P(D) = 0,5·0,02 + 0,3·0,03 + 0,2·0,05

= 0,010 + 0,009 + 0,010

P(D) = 0,029

💡 Esquema mental: la P. Total "suma" totes les vies per arribar a B, ponderant per la probabilitat de cada via.

🔄 Bloc 3 · Bayes

Teorema de Bayes ⭐

⭐ La fórmula estrella de la PAU

P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ) / P(B)

on P(B) = Probabilitat Total

🔁 Com llegir-ho

"Donat que ha passat B, quina és la probabilitat que la causa hagi estat Aᵢ?"

Raonament "cap enrere" (invers)

📘 Continuació exemple

La peça és defectuosa. ¿De quina fàbrica prové?

P(A|D) = (0,5·0,02) / 0,029 = 0,345

P(B|D) = (0,3·0,03) / 0,029 = 0,310

P(C|D) = (0,2·0,05) / 0,029 = 0,345

Verificació: 0,345+0,310+0,345 = 1 ✅

⭐ Procediment PAU en 3 passos

① Calcula P(B) amb P. Total · ② Aplica Bayes · ③ Verifica que les posteriors sumen 1

🔔 Bloc 4 · Normal

La Distribució Normal N(μ, σ)

Forma de campana de Gauss

68%

μ ± σ

95%

μ ± 2σ

99,7%

μ ± 3σ

📌 Paràmetres

μ = mitjana (centre)

σ = desv. típica (amplada)

σ² = variància

🔔 Propietats

Simètrica respecte μ
Campana unimodal
Cua a l'infinit
Àrea total = 1

Normal estàndard

N(0, 1): μ=0, σ=1

🔔 Bloc 4 · Tipificació

Tipificació i Ús de la Taula

⭐ Fórmula de tipificació

Z = (X − μ) / σ

Transforma X ~ N(μ,σ) en Z ~ N(0,1)

📘 Exemple

X ~ N(50, 10) · P(X ≤ 65) = ?

Z = (65−50)/10 = 1,5

P(Z ≤ 1,5) = Φ(1,5) = 0,9332

📋 Passos a seguir

Tipificar: calcular Z
Consultar taula Φ(z)
Aplicar simetria si cal

📊 Fragment taula Φ(z)

z	.00	.01	.02	.03	.04
0.0	.5000	.5040	.5080	.5120	.5160
0.5	.6915	.6950	.6985	.7019	.7054
1.0	.8413	.8438	.8461	.8485	.8508
1.5	.9332	.9345	.9357	.9370	.9382
1.6	.9452	.9463	.9474	.9484	.9495
1.9	.9713	.9719	.9726	.9732	.9738
2.0	.9772	.9778	.9783	.9788	.9793

La taula dona P(Z ≤ z) per z ≥ 0

🔔 Bloc 4 · Simetria

Simetria de la Normal

🔑 Propietats de simetria

P(Z ≤ −z) = 1 − P(Z ≤ z) = 1 − Φ(z)

P(Z ≥ z) = 1 − Φ(z)

P(a ≤ Z ≤ b) = Φ(b) − Φ(a)

P(−a ≤ Z ≤ a) = 2·Φ(a) − 1

📌 Regla d'or

La taula dona Φ(z) per z ≥ 0. Per z negatiu, usa la simetria: Φ(−z) = 1 − Φ(z)

📘 Exemples pràctics

P(Z ≥ 1,2) = ?

= 1 − Φ(1,2) = 1 − 0,8849 = 0,1151

P(Z ≤ −0,8) = ?

= 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

P(−1 ≤ Z ≤ 1) = ?

= 2·Φ(1)−1 = 2·0,8413−1 = 0,6826

P(0,5 ≤ Z ≤ 1,5) = ?

= Φ(1,5)−Φ(0,5) = 0,9332−0,6915 = 0,2417

📋 Resum

Formulari Complet · PAU

📌 Bàsiques

P(A) = fav/total

P(Ā) = 1 − P(A)

0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)

Incomp.: P(A∪B)=P(A)+P(B)

🌲 Condicionada & Bayes

P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

P(A∩B) = P(A)·P(B|A)

Indep.: P(A∩B)=P(A)·P(B)

P(B) = Σ P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)

Bayes: P(Aᵢ|B)=P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B)

🔔 Normal

Z = (X−μ)/σ

P(Z≤−z) = 1−Φ(z)

P(Z≥z) = 1−Φ(z)

P(a≤Z≤b) = Φ(b)−Φ(a)

P(−a≤Z≤a) = 2·Φ(a)−1

✏️ Exercici PAU complet

Exercici Combinat · Tipus Selectivitat

📜 Enunciat

Una empresa té 3 proveïdors: A (40%), B (35%), C (25%). La probabilitat que una peça sigui defectuosa és: P(D|A)=0,02, P(D|B)=0,04, P(D|C)=0,06.

Preguntes:

Probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa.
Si la peça és defectuosa, probabilitat que provingui del proveïdor B.
Si X ~ N(12, 2), calcular P(10 ≤ X ≤ 15).

✅ Solució guiada

1. P. Total:

= 0,4·0,02 + 0,35·0,04 + 0,25·0,06

= 0,008 + 0,014 + 0,015 = 0,037

2. Bayes P(B|D):

= (0,35·0,04) / 0,037 = 0,014/0,037 = 0,378

3. Normal N(12,2):

Z₁=(10−12)/2 = −1 · Z₂=(15−12)/2 = 1,5

= Φ(1,5) − Φ(−1)

= Φ(1,5) − (1−Φ(1))

= 0,9332 − (1−0,8413) = 0,9332 − 0,1587 = 0,7745

🎯

Excel·lent feina!

Matemàtiques CCSS · Batxillerat

Laplace & Àlgebra ✅

P(A), unió, intersecció, independència

Arbres & Condicionada ✅

P(B|A), arbres, regla del producte

Prob. Total & Bayes ✅

Particions, fórmula inversa

Distribució Normal ✅

Tipificació, taula, simetria

ACADÈMIA TODOPAU